maximum principle の基本きほん

date2026-04-23descriptionmaximum principle を、楕円型・放物型 PDE で内部最大値が境界条件に支配される原理として導入する。prerequisites二階線形PDEの分類 / heat・wave・Laplace方程式type講義statusactive

mathpartial-differential-equationsmaximum-principlelecture

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、Laplace 方程式ほうていしきや熱方程式ねつほうていしきでは、内部ないぶの最大値さいだいちが境界きょうかいや初期条件しょきじょうけんに支配しはいされることである。

用語ようごと定義ていぎ

maximum principleMaximum principle は、楕円型だえんがたや放物型ほうぶつがたの PDE で、解かいの最大値さいだいちや最小値さいしょうちが領域内部りょういきないぶで自由じゆうには発生はっせいしないことを述のべる原理げんりである。

方針ほうしん

Laplace 方程式ほうていしき $Δ u = 0$ の解かいは、内部ないぶに源みなもとを持もたない平衡状態へいこうじょうたいである。そのため、境界きょうかいより大おおきい山やまや小ちいさい谷たにが内部ないぶに新規しんきに発生はっせいしない。

弱最大値原理じゃくさいだいちげんり

有界領域ゆうかいりょういき $Ω$ で $u$ が連続れんぞくで、内部ないぶで $Δ u = 0$ を満みたすとする。このとき $u$ の最大値さいだいちと最小値さいしょうちは境界きょうかい $\partial Ω$ で達成たっせいされる。これは内部ないぶに境界きょうかいより高たかい山やまが孤立こりつして出現しゅつげんしないことを述のべる。

より正確せいかくには、 $u \in C (\overline{Ω}) \cap C^{2} (Ω)$ で $Δ u = 0$ なら、

\max_{\overline{Ω}} u = \max_{\partial Ω} u, \min_{\overline{Ω}} u = \min_{\partial Ω} u

である。強最大値原理きょうさいだいちげんりでは、内部ないぶで最大値さいだいちを取とる非定数解ひていすうかいは存在そんざいしない、という形かたちで述のべる。

弱最大値原理じゃくさいだいちげんりの証明しょうめいの核かく

証明しょうめいの発想はっそうは、内部最大ないぶさいだいでは二階微分にかいびぶんの和わが正せいになれない、という事実じじつである。まず滑なめらかな関数かんすう $v$ が内部点ないぶてんで最大値さいだいちを取とるなら、その点てんで Hessian は負半定値ふはんていちである。したがって

Δ v [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0

である。

一方いっぽう、 $u$ が調和関数ちょうわかんすうなら $Δ u = 0$ であり、このままでは弱最大値原理じゃくさいだいちげんりを直接ちょくせつに矛盾むじゅんへ接続せつぞくしにくい。そこで

v_{ε} (x) = u (x) + ε | x |^{2}

を導入どうにゅうする。 $n$ 次元じげんでは

Δ v_{ε} = 2 n ε > 0

である。もし $v_{ε}$ が内部ないぶで最大値さいだいちを取とれば、内部最大ないぶさいだいの必要条件ひつようじょうけんから $Δ v_{ε} [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 0$ となり矛盾むじゅんする。したがって $v_{ε}$ の最大値さいだいちは境界きょうかいで達成たっせいされる。最後さいごに $ε \to 0$ として $u$ の最大値さいだいちも境界きょうかいで制御せいぎょされる。

この議論ぎろんは厳密げんみつには有界領域ゆうかいりょういき、連続性れんぞくせい、内部ないぶでの $C^{2}$ 正則性せいそくせいを仮定かていする。定理ていりの強化版きょうかばんでは、楕円型作用素だえんがたさようその係数条件けいすうじょうけんも確認かくにんする。

重要性じゅうようせい

maximum principle は、解かいの一意性いちいせいや安定性あんていせいの証明しょうめいに使用しようされる。明示解めいじかいが得えられない場合ばあいであっても、解かいの範囲はんいを制御せいぎょできる。

一意性いちいせいへの応用おうよう

同おなじ境界値きょうかいちを持もつ二ふたつの調和関数ちょうわかんすう $u, v$ があるとする。 $w = u - v$ とおくと、 $Δ w = 0$ であり、境界きょうかいでは $w = 0$ である。maximum principle により $w$ の最大値さいだいちも最小値さいしょうちも 0 であるため、 $w = 0$ 、すなわち $u = v$ である。

heat 方程式ほうていしきの場合ばあい

熱方程式ねつほうていしきでは、時間区間じかんくかんを含ふくむ円柱領域えんちゅうりょういきの底面ていめんと側面そくめんが最大値さいだいちを支配しはいする。内部ないぶで温度おんどが初期値しょきちや境界値きょうかいちを超こえて自由じゆうに増加ぞうかしないことを意味いみする。

たとえば $0 < x < L$ で $u_{t} - κ u_{x x} = 0$ 、 $u (0, t), u (L, t)$ と $u (x, 0)$ がすべて $0$ から $100$ の範囲はんいに入はいるなら、内部ないぶの温度おんどもその範囲はんいを逸脱いつだつしない。新あたらしい熱源ねつげんが内部ないぶにないため、境界きょうかいと初期状態しょきじょうたいが範囲はんいを制御せいぎょする。

比較例ひかくれい: 波動方程式はどうほうていしき

波動方程式はどうほうていしきでは、初期速度しょきそくどにより内部ないぶの値あたいが後あとから大おおきくなることがある。双曲型そうきょくがたでは最大値さいだいちの支配しはいより、有限伝播速度ゆうげんでんぱそくどとエネルギー保存ほぞんが中心ちゅうしんになる。したがって maximum principle は PDE 全般ぜんぱんの性質せいしつではなく、楕円型だえんがた・放物型ほうぶつがたに特徴的とくちょうてきな原理げんりである。

直感図ちょっかんずとしての説明せつめい

Laplace 方程式ほうていしきの解かいを薄膜はくまくの高たかさとして解釈かいしゃくする。境界きょうかいを固定こていし、内部ないぶに支柱しちゅうや力ちからを置おかない場合ばあい、膜まくの内部ないぶに境界きょうかいより高たかい山やまは形成けいせいされない。この図式ずしきは厳密証明げんみつしょうめいの代替だいたいではないが、境界支配きょうかいしはいの直感ちょっかんを与あたえる。

どこまで成なり立たつか

maximum principle は方程式ほうていしきの型かたと係数けいすうの条件じょうけんに依存いぞんする。双曲型そうきょくがたの波動方程式はどうほうていしきでは、同おなじ形式けいしきでは成立せいりつしない。